Тема 6. Анализ рядов динамики

1. Аналитические показатели динамического ряда

2. Взаимосвязь коэффициентов (индексов) цепных и базисных

3. Средний уровень моментного динамического ряда

4. Измерение сезонных колебаний

5. Аналитическое выравнивание

Практические задания


Следует различать два вида временных рядов – моментные и интервальные.

Интервальные данные представляют собой значения признака, относящиеся к периоду времени, например, объем выпускаемой продукции.

Моментные данные представляют собой значения признака, относящиеся к моменту времени, например, численность населения по переписи.

Различие моментных и интервальных рядов представляет собой частный случай более общего различия между величинами типа запаса (фонда) и потока.

1. Аналитические показатели динамического ряда

Производство зерна в РФ (в хозяйствах всех категорий; в весе после доработки) характеризуется следующими данными:

Годы

Пр-во зерна, млн.т.,

Абс.
прирост () млн. т.,

Коэффициенты роста

Темпы роста, %

Темпы прироста, %

Абс. значение 1 % прироста, млн.т.

цепные

базисные

к предыдущему периоду

к базисному

к предыдущему периоду

к базисному

А

1

2

3

4

5

6

7

8

9

1993

99,1

...

...

1

...

100

...

...

...

1994

81,3

-17,8

0,820

0,820

82,0

82,0

-18

-18

0,991

1995

63,4

-17,9

0,780

0,640

78,0

64,0

-22

-36

0,813

1996

69,3

5,9

1,093

0,699

109,3

69,9

9,3

-30,1

0,634

1997

88,5

19,2

1,227

0,893

122,7

89,3

22,7

-10,7

0,693

Всего

401,6

 

 

 

 

 

 

 

 

Получить данные в формате Microsoft Excel 97 (в архиве ZIP)

Средний годовой уровень: 80,32 (млн. тонн)

Средний абсолютный прирост:

или –2,65 (млн. тонн )

Средний годовой коэффициент роста:

т.е. среднегодовой темп прироста (спада) = –2,79%.

При расчете средних темпов роста по периодам различной продолжительности следует пользоваться средней геометрической взвешенной по продолжительности периодов. Формула средней геометрической взвешенной имеет вид:

,

где ti – интервалы времени, в течение которых сохраняется данный темп роста.

2. Взаимосвязь коэффициентов (индексов) цепных и базисных

Индекс потребительских цен за январь–июнь 2001г.

 

В % к предыдущему месяцу (Tt/t-1)

В % к базисному периоду –
декабрю 1999 г. (Tt/о)

А

1

2

Январь

102,8

102,8

Февраль

102,3

105,1

Март

101,9

107,1

Апрель

101,8

109,0

Май

101,8

110,9

Июнь

101,6

112,7

Получить данные в формате Microsoft Excel 97 (в архиве ZIP)

К1 = у10 откуда у10 ґ у21 = у20 = К2/0

К2 = у21 у10 ґ у21 ґ у32 = у30 = К3/0 т.е.

К3 = у32 произведение цепных индексов дает базисный. За 6 месяцев прирост цен

К5 = у54 составил 12,7%, а среднемесячный прирост цен 2% ()=1,02

3. Средний уровень моментного динамического ряда

а) Средняя хронологическая (для моментного ряда с равноотстоящими уровнями):

где n – число уровней.

б) Если интервалы в ряду неравны, рассчитываются средние для каждого из отдельных интервалов и взвешиваются по величине интервалов:

где t – период времени, отделяющий один уровень ряда от другого;

или:

где – средние для отдельных интервалов.

Таблица 5

Имеются данные о численности зарегистрированных безработных в Российской Федерации:

На конец периода

1

XII.1999

I.2000

II.2000

III.2000

IV.2000

V.2000

VI.2000

Тыс.чел.

2

1263

1235

1229

1202

1151

1069

1009

Получить данные в формате Microsoft Excel 97 (в архиве ZIP)

Продолжение таблицы 5

На конец периода

1

VII.2000

VIII.2000

IX.2000

X.2000

XI.2000

XII.2000

Тыс.чел.

2

990

986

968

968

1000

1037

Получить данные в формате Microsoft Excel 97 (в архиве ZIP)

а) Средняя хронологическая: 1080 тыс.чел.

(в среднем в 2000 г.)

б) Суммарная задолженность предприятий и организаций промышленности, строительства, транспорта и сельского хозяйства:

На конец периода

XII.1996

III.1997

IX.1997

XI. 1997

XII.1997

Млрд.руб.

1065

1205,7

1398

1449

1453

Получить данные в формате Microsoft Excel 97 (в архиве ZIP)

1292,9 млрд. руб.

(в среднем в 1997 г.)

4. Измерение сезонных колебаний

1 способ: способ постоянной средней

где – помесячные средние за одноименные месяцы за весь период;

– общая средняя за весь период:

2 способ: способ переменной средней

где

ykt – фактические уровни в году k за месяц t,

k – среднемесячный уровень в году k;

k = 1, 2 ... а, а – число лет;

t = 1, 2 ... m, m – число внутригодичных интервалов.

Сезонная волна:

3 способ:

где – уровни теоретические выровненные.

5. Аналитическое выравнивание

При аналитическом выравнивании предполагается, что тренд есть функция переменной (времени): = f(t)

Далее выбирается подходящее семейство функций (линейно зависящих от параметров), и методом наименьших квадратов ( или любым другим ) подбираются значения параметров, которые позволяют минимизировать функционал:

Если для выравнивания временного ряда используется линейная функция тренда
t = f(t) =ao + a1t , то, используя метод наименьших квадратов, можно определить параметры и (наряду с уровнями тренда можно использовать сглаженные методом скользящей средней уровни ряда).

Скользящая средняя – подвижная динамическая средняя, которая подсчитывается по динамическому ряду при последовательном передвижении на один срок.

Скользящая средняя нечетного числа периодов (моментов) времени 2k+1:

Сезонная волна:

Обобщающий показатель колеблемости из-за сезонной неравномерности:

Пример: Cезонная волна производства электроэнергии по месяцам за 1992–1993 гг. в Российской Федерации и прогноз на 1994 г.

2 способ

Таблица 6

Месяцы 

Млрд. кВтґ ч

Индексы сезонности (в % к среднемесячному производству за данный год)
I(k,t)

Сезонная волна , %

1992
y1t

1993
y2t

1992

1993

А

1

2

3

4

5

Январь

101

94.1

122,5

120,4

121,5

Февраль

95,1

87,3

115,3

111,7

113,5

Март

95,3

90,5

115,6

115,8

115,7

Апрель

84,3

79,1

102,3

101,2

101,8

Май

73,8

68,8

89,5

88

88,8

Июнь

67,3

63

81,6

80,6

81,1

Июль

67,8

62,7

82,3

80,2

81,3

Август

67,2

63.6

81,5

81,4

81,5

Сентябрь

70

68,1

84,9

87,1

86

Октябрь

84

78,8

101,9

100,8

101,4

Ноябрь

87,5

89,2

106,2

114,1

110,2

Декабрь

95,7

92,6

116,1

118,5

117,3

ИТОГО

989

937,8

 

 

 

Получить данные в формате Microsoft Excel 97 (в архиве ZIP)

= 82,42 млрд. кВтґ ч; = 78,15 млрд, кВтґ ч.

3 способ (см. гр. 5 таблицы 7)

Сезонная волна, рассчитанная двумя способами, показывает спад производства в мае-сентябре, а подъем – в декабре-январе.

, где ti - условное обозначение времени (номера периодов)

,

= 85,57; = –0,46

= 85,57 – 0,46t, t = 0,1,...,23

Если решается задача – очистить фактические уровни от сезонной компоненты, следует определить абсолютный показатель сезонности (Skt):

, a

и скорректировать на эту величину фактические уровни ykt : yскорр.kt = yktSkt

Если Iсез t > 1, ytскорр. = yt факт. – Skt . Если Iсез t < 1, ytcкорр = yt факт. + Skt

Skt показывает, на сколько именованных единиц изменился уровень изучаемого явления вследствие сезонных факторов по сравнению со средним уровнем.

На основании вычисленных показателей сезонности можно определить обобщающие показатели колеблемости ряда из-за сезонной неравномерности (коэффициенты сезонности), для чего могут быть использованы показатели среднего линейного отклонения и среднеквадратического отклонения. Коэффициенты сезонности исчисляются, как правило, за год, в качестве варьирующего уровня принимаются внутригодичные индексы сезонности, а среднего уровня – 100%, по следующим формулам:

;

Таблица 7

Выровненные данные
(t=0 в январе 1992 г.)

Фактические уровни в % к выровненным

Сезонная волна

 

 

Тренд

1994 г.
Прогноз

1994 г.
Факт

1992

1993

1992

1993

1992

1993

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

85,57

80,05

118

117,6

117,8

324

306,25

24

74,53

87,8

91,3

85,11

79,59

111,7

109,7

110,7

136,89

92,16

25

74,07

82

86,6

84,65

79,13

112,6

114,3

113,4

156,25

204,49

26

73,61

83,47

87,2

84,19

78,67

100,1

100,5

100,3

0,01

0,25

27

73,15

73,37

71,6

83,73

78,21

88,1

87,9

88

141,61

146,41

28

72,69

63,97

62,6

83,27

77,75

80,8

81,09

80,9

368,64

361

29

72,23

58,43

56,8

82,81

77,29

81,9

81,1

81,5

331,24

357,21

30

71,77

58,49

56,6

82,35

76,83

81,6

82,8

82,2

338,56

299,29

31

71,21

58,62

58,3

81,89

76,37

85,5

89,2

87,3

213,16

118,81

32

70,85

61,85

60,9

81,43

75,91

103,2

103,8

103,5

9,61

14,44

33

70,39

72,85

71,9

80,97

75,45

108

118,2

113,1

64

331,24

34

69,93

79,09

81,3

80,51

74,99

118,8

123,5

121,1

353,44

547,56

35

69,47

84,16

91,2

Итого

 

 

 

 

2437,11

2779,11

 

864

864

876

Получить данные в формате Microsoft Excel 97 (в архиве ZIP)

Колеблемость из-за сезонной неравномерности:

; - показывает, что сезонные колебания в 1993г. были выше, чем в 1992 г.

Практические задания

Задача №1

Имеются данные о производстве зерна в Российской Федерации (в хозяйствах всех категорий; в весе после доработки)

Годы

1990

1991

1992

1993

1994

1995

1996

1997

1998

1999

2000

млн.т.

116,7

89,1

106,9

99,1

81,3

63,4

69,3

88,6

47,8

54,7

65,4

Получить данные в формате Microsoft Excel 97 (в архиве ZIP)

1. Рассчитайте аналитические показатели динамического ряда;

2. Проведите выравнивание ряда: а) методом скользящей средней; б) методом аналитического выравнивания.

Задача №2

Имеются данные о производстве угля по месяцам за 1994–1997 гг. (млн. тонн)

 

1994 год

1995 год

1996 г.

1997 г.

Январь

25,3

23,8

23,4

22,6

Февраль

25,1

23,4

23,7

22,6

Март

26,0

24,2

24,0

23,7

Апрель

23,6

20,3

23,2

19,8

Май

21,7

19,7

20,2

18,5

Июнь

20,3

20,1

18,7

17,5

Июль

18,9

20,0

18,6

18,1

Август

20,4

20,6

18,0

18,5

Сентябрь

19,9

21,0

19,6

17,9

Октябрь

21,6

22,5

21,5

21,4

Ноябрь

24,0

23,5

22,4

21,4

Декабрь

24,5

23,8

21,5

21,8

ИТОГО

271

262

256

243,8

Получить данные в формате Microsoft Excel 97 (в архиве ZIP)

Рассчитайте:

1) индексы сезонности;

2) прогнозируемые данные о производстве угля по месяцам в 1998 г., если производство угля в 1998 г. составило 232 млн. тонн.

Задача №3

Имеются данные о динамике объемов строительно-монтажных работ в России (в сметных ценах 1991 г.):

Годы

Строительно- монтажные работы, млрд.руб.

Темп роста к 1989 г., %

Темп роста к предыдущ. году, %

Темп прироста к пред. году, %

Коэффициент роста
к 1989 г.

1989

 

 

 

 

 

1990

 

 

92,5

 

 

1991

 

 

 

–14,6

 

1992

 

 

 

 

0,5

1993

 

 

 

 

 

1994

51,8

41,7

92,8

 

 

1995

 

 

 

–6,6

 

Получить данные в формате Microsoft Excel 97 (в архиве ZIP)

Заполните таблицу и сделайте выводы о динамике объемов строительно-монтажных работ в России.

Задача №4

Имеются данные о капитальных вложениях за счет всех источников финансирования в экономику России (в сметных ценах 1991 г.):

Годы

Капитальные вложения, млрд.руб.

Темп роста
к 1989 г., %

Темп прироста к пред. году, %

Темп прироста
к 1989 году, %

Темп роста
к пред. году, %

1989

248,9

 

 

 

 

1990

 

 

0,1

 

 

1991

 

84,5

 

 

 

1992

 

 

 

–49

 

1993

 

 

–11,6

 

 

1994

 

34,1

 

 

 

1995

 

 

 

–70,4

 

1996

 

 

–18

 

 

1997

 

 

 

 

95

1998

 

22,2

 

 

 

Получить данные в формате Microsoft Excel 97 (в архиве ZIP)

Заполните таблицу и сделайте выводы о динамике капитальных вложений

Задача №5

Имеются данные о динамике численности постоянного населения и производстве электроэнергии в России за 1992–1998 гг.:

Годы

Млрд. кВтґ ч

Млн.чел. на конец года

1992

1008

148,3

1993

957

148,0

1994

876

147,9

1995

860

147,6

1996

847

147,1

1997

834

146,7

1998

827

146,3

1999

846

145,6

2000

877

144,8

Получить данные в формате Microsoft Excel 97 (в архиве ZIP)

1) Рассчитайте аналитические показатели динамики производства электроэнергии, численности населения и производства электроэнергии на душу населения.

2) Определите виды рядов динамики: производства электроэнергии, численности населения и выработки электроэнергии на душу населения.

Задача №6

Имеются данные о динамике урожайности зерновых культур в РФ (в весе после доработки).

Год

ц/га весенней
продуктивной
площади

ц/га убранной площади

1990

18,5

 

1991

14,4

 

1992

17,2

 

1993

16,3

 

1994

14,4

 

1995

11,6

13,1

1996

 

14,9

1997

 

17,8

1998

 

12,9

1999

 

14,4

2000

 

15,6

Получить данные в формате Microsoft Excel 97 (в архиве ZIP)

1) Приведите ряд к сопоставимому виду.

2) Определите закономерность изменения уровней в данном периоде в виде уравнения тренда.

Задача №7

Имеются данные о численности персонала, занятого исследованиями и разработками, в России.

Год

млн чел.

1989

2,22

1990

1,94

1991

1,68

1992

1,53

1993

1,32

1994

1,11

1995

1,06

1996

0,99

1997

0,93

1998

0,86

1999

0,87

2000

0,91

Получить данные в формате Microsoft Excel 97 (в архиве ZIP)

Рассчитать показатели динамики численности персонала, занятого исследованиями и разработками, за 1990–2000 гг. Сделайте выводы. Найти уравнение тренда и сделать прогноз численности персонала на 2002 г.

Получить полный текст документа в формате Microsoft Word (в архиве ZIP)

Казаринова С.Е., Карасев О.И. Теория статистики: справочные материалы, практические и контрольные задания, тесты. - М.: ИНФРА-М, 2002.